Gleichungen & Ungleichungen II

Gleichungssysteme, Betragsgleichungen, Wurzelgleichungen

Prüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Eine Gleichung mit $x$ und $y$ : ganz viele Lösungen, alle auf einer Geraden.

Nach dieser Lektion

✓
Du löst 2×2- und 3×3-Gleichungssysteme.
✓
Du löst Betragsgleichungen mit Fallunterscheidung.
✓
Du löst Wurzelgleichungen und machst die Probe.

An der Prüfung: Gleichungssysteme brauchst du für Parameteraufgaben («Bestimmen Sie a und b so, dass…»), die sehr häufig sind.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

Blau: $x + y = 3$ . Orange: deine zweite Gleichung.

{x + y = 3 2 x - y = 0

Zahl bei

x

a

2Zahl bei

y

b

−1Rechte Seite

c

$x$

$y$

Eine Lösung: $x = 1$ und $y = 2$ .

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle die Lösung $(2 ∣ 1)$ ein.
(offen)
Mach die zweite Gerade parallel: keine Lösung.
(offen)
Finde ein System mit unendlich vielen Lösungen.
(offen)

Entdecke:

Jede Gleichung ist eine Gerade. Die Lösung des Systems liegt auf beiden: im Schnittpunkt.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Einsetzen oder addieren

{x + y = 3 2 x - y = 0

Einsetzen: eine Variable freistellen und in die andere Gleichung setzen.
Addieren: so rechnen, dass beim Addieren eine Variable wegfällt.

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte.

MerkeZiel: eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

2Betrag: zwei Fälle

∣ T ∣ = c \Rightarrow T = c oder T = - c

Rechte Seite		Lösungen
$c > 0$	→	$zwei$
$c = 0$	→	$eine$
$c < 0$	→	$keine$

$∣ x - 1∣ = 2$ : Schnitt von $y = ∣ x - 1∣$ mit $y = 2$ .

MerkeBeide Fälle rechnen, nie nur den positiven.

3Wurzel: Probe machen

x + 2 = x \Rightarrow x + 2 = x^{2}

Wurzel zuerst allein stellen, dann quadrieren.
Quadrieren kann Scheinlösungen erzeugen.

$y = x + 2$ und $y = x$ .

MerkeOhne Probe ist die Lösung nicht sicher.

4Bedingung wird Gleichung

Bedingung		Gleichung
$geht durch P (2 ∣ 3)$	→	$f (2) = 3$
$waagrechte Tangente bei 1$	→	$f^{'} (1) = 0$
$Wendepunkt bei 2$	→	$f^{''} (2) = 0$
$schneidet die y -Achse bei 4$	→	$f (0) = 4$

MerkeJede Bedingung ergibt genau eine Gleichung.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Bestimme die Parabel y = a x^{2} + b x + c, die durch A (0 ∣ 1), B (1 ∣ 0) und C (3 ∣ 4) geht.

Gesucht: eine Parabel durch drei Punkte.

1
Drei Bedingungen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
c einsetzen
…
3
Subtrahieren
…

Typische Fehler

✗
Bei Betragsgleichungen nur den positiven Fall rechnen.
✗
Bei Wurzelgleichungen die Probe weglassen und eine Scheinlösung behalten.
✗
Beim Additionsverfahren eine Seite der Gleichung nicht mitmultiplizieren.

Prüfungstipp

Übersetze jede Textbedingung in eine Gleichung: «geht durch $P$ » heisst $f (x_{P}) = y_{P}$ , «waagrechte Tangente» heisst $f^{'} (x) = 0$ , «Wendepunkt» heisst $f^{''} (x) = 0$ .

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du löst 2×2- und 3×3-Gleichungssysteme.
Du löst Betragsgleichungen mit Fallunterscheidung.
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