Integrale

Stammfunktion, bestimmtes Integral, Flächen zwischen Kurven

Sehr prüfungsrelevantca. 50 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Fläche unter der Kurve: erst mit drei groben Rechtecken.

Nach dieser Lektion

✓
Du bildest Stammfunktionen von Polynomen, $e^{x}$ , $\frac{1}{x}$ , $sin$ und $cos$ .
✓
Du berechnest bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz.
✓
Du berechnest Flächen zwischen Graph und x-Achse sowie zwischen zwei Graphen.

An der Prüfung: Fast jede Kurvendiskussion endet mit einer Flächenberechnung, oft 2 bis 4 Punkte.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + 2$

Anzahl Streifen n6Untere Grenze

a

0.0Obere Grenze

b

4.5

Streifensumme

9,2769

Integral

9,3164

Je mehr Streifen, desto näher kommt die Summe an das exakte Integral $F (b) - F (a)$ . Rote Streifen liegen unter der x-Achse und zählen negativ.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Stammfunktion

F^{'} (x) = f (x)

Funktion		Stammfunktion
$x^{n} (n \neq = - 1)$	→	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{1}{x}$	→	$ln ∣ x ∣$
$e^{x}$	→	$e^{x}$
$cos x$	→	$sin x$
$sin x$	→	$- cos x$

MerkeProbe:

F

ableiten muss

f

ergeben.

2Hauptsatz

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

$F$ ist irgendeine Stammfunktion von $f$ .
Obere Grenze einsetzen minus untere Grenze einsetzen.

Fläche unter $f (x) = x^{2}$ von $a = 1$ bis $b = 3$

MerkeObere Grenze minus untere Grenze, nicht umgekehrt.

3Fläche mit der x-Achse

A = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f + \int_{x_{2}}^{x_{3}} f

Unter der x-Achse ist das Integral negativ.
Nullstellen suchen, stückweise integrieren, Beträge addieren.

$f (x) = x^{2} - 2 x$ mit Nullstellen bei $0$ und $2$

MerkeNie über eine Nullstelle hinweg integrieren.

4Fläche zwischen Graphen

A = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (f (x) - g (x)) d x

Schnittstellen $x_{1}, x_{2}$ zuerst berechnen.
Oberer Graph minus unterer Graph.
Mehrere Schnittstellen: stückweise rechnen.

$f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 x$

MerkeErst skizzieren: Welcher Graph liegt oben?

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Berechne die Fläche zwischen den Graphen von f (x) = x^{2} und g (x) = 2 x + 3 .

$f (x) = x^{2}$ (blau) und $g (x) = 2 x + 3$ (violett)

1
Schnittstellen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Wer liegt oben?
…
3
Integrieren
…

Typische Fehler

✗
Über eine Nullstelle hinweg integrieren: Positive und negative Teile heben sich auf.
✗
Die Stammfunktion falsch: $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}$ , nicht $2 x$ .
✗
Bei $F (b) - F (a)$ die Klammer um $F (a)$ vergessen.

Prüfungstipp

Mach vor jedem Flächenintegral eine schnelle Skizze: Liegt die Fläche über oder unter der Achse? Welcher Graph ist oben? Das kostet 30 Sekunden und verhindert die häufigsten Fehler.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie in der Passerelle. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

1 Aufgabe auf Prüfungsniveau

Fläche zwischen zwei Parabeln

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Selbstcheck: Wie sicher bist du?

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Du bildest Stammfunktionen von Polynomen, $e^{x}$ , $\frac{1}{x}$ , $sin$ und $cos$ .
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