Trigonometrie II

Sinussatz, Kosinussatz, trigonometrische Gleichungen, Graphen

Prüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Dieses Dreieck hat keinen rechten Winkel. Welcher Satz hilft?

Nach dieser Lektion

✓
Du wählst zwischen Sinussatz und Kosinussatz.
✓
Du findest alle Lösungen von $sin x = k$ im Intervall.
✓
Du skizzierst $y = a sin (b x)$ .

An der Prüfung: Allgemeine Dreiecke (Sinus-/Kosinussatz) und trigonometrische Funktionen kommen in Kurzaufgaben und Kurvendiskussionen vor.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

Winkel

α

40°

cos α

0,766

sin α

0,643

Bogenmass: $α = 0, 698$ . Probier aus: Bei welchen zwei Winkeln ist $sin α = 0, 5$ ? Sie liegen symmetrisch zur y-Achse.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Sinussatz

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

Du brauchst ein Paar: eine Seite und ihren Gegenwinkel.
Bei einem gesuchten Winkel gibt es manchmal zwei Lösungen.

Jede Seite liegt einem Winkel gegenüber.

MerkeSeite und Gegenwinkel gehören zusammen.

2Kosinussatz

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel: die dritte Seite.
Alle drei Seiten: jeden Winkel.

$b$ , $c$ und der Winkel $α$ dazwischen sind bekannt.

MerkeBei

α = 9 0^{\circ}

wird daraus Pythagoras.

3Fläche

F = \frac{1}{2} a b sin γ

Zwei Seiten und der Winkel dazwischen reichen.

$a = 6$ , $b = 4$ , $γ = 3 0^{\circ}$ .

MerkeDie Höhe ist

b sin γ

4sin x = k: zwei Lösungen

x_{2} = 18 0^{\circ} - x_{1}

Der Rechner liefert nur $x_{1} = arcsin k$ .
Spiegle $x_{1}$ an der y-Achse: das ist $x_{2}$ .

$sin x = 0, 5$ : die Höhe $y = 0, 5$ auf dem Einheitskreis.

MerkeIm Bogenmass:

x_{2} = π - x_{1}

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

In einem Dreieck ist a = 7, b = 5 und γ = 6 0^{\circ} . Bestimme c, die Fläche und den Winkel α .

Gegeben: $a = 7$ , $b = 5$ , $γ = 6 0^{\circ}$ . Gesucht: $c$ .

1
Welcher Satz?
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Seite c
…
3
Fläche
…
4
Winkel α
…

Typische Fehler

✗
Beim Sinussatz die zweite Lösung (stumpfer Winkel) übersehen.
✗
Den Kosinussatz mit falschem Winkel benutzen: Der Winkel muss der Seite links gegenüberliegen.
✗
Bei $sin x = k$ nur die Rechnerlösung angeben.

Prüfungstipp

Faustregel: Kennst du ein Seite-Winkel-Paar, nimm den Sinussatz. Sonst den Kosinussatz.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

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1 Aufgabe auf Prüfungsniveau

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Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du wählst zwischen Sinussatz und Kosinussatz.
Du findest alle Lösungen von $sin x = k$ im Intervall.
Du skizzierst $y = a sin (b x)$ .

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