Exponentialfunktionen

Wachstum und Zerfall, Wachstumsfaktor, Halbwertszeit

Prüfungsrelevantca. 35 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

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Nach dieser Lektion

✓
Du stellst $N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$ aus einem Text auf.
✓
Du rechnest mit Prozenten, Halbwertszeit und Verdopplungszeit.
✓
Du kennst die Eigenschaften von $e^{x}$ .

An der Prüfung: Kommt als Kurzaufgabe oder in Kurvendiskussionen mit $e^{x}$ vor (z. B. Tangenten an $e^{1 - x}$ ).

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

Blau: exponentiell. Gestrichelt: linear mit gleichem Start-Zuwachs.

N (t) = 100 \cdot 1, 0 5^{t}

Anfangswert

N_{0}

100Änderung pro Schritt

p

$a$

1,05

$T$

14,2

$N (10)$

163

Wachstum: $a = 1, 05 > 1$ . Verdopplungszeit $T \approx 14, 2$ .

Aufträge

0 von 3 geschafft

Finde ein Wachstum mit Verdopplungszeit etwa 10.
(offen)
Finde einen Zerfall mit Halbwertszeit etwa 5.
(offen)
Stelle $p = 0$ ein. Was passiert?
(offen)

Entdecke:

Ändere nur $N_{0}$ : Die Kurve wird höher, aber $T$ bleibt gleich.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Wachstumsfaktor

N (t) = N_{0} \cdot a^{t}

Änderung		Faktor
$+ 5 %$	→	$a = 1, 05$
$- 5 %$	→	$a = 0, 95$
$- 50 %$	→	$a = 0, 5$

Prozente werden multipliziert, nicht addiert.

$a = 1, 05$ : Der Bestand wächst.

Merke

a > 1

wächst,

a < 1

schrumpft.

2Halbwertszeit

N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}

Nach jeder Zeit $T$ bleibt die Hälfte übrig.
Aus $a$ : $T = \frac{ln 2}{∣ ln a ∣}$ , auch für die Verdopplungszeit.

Zerfall mit $T = 5$ und $N_{0} = 100$ .

MerkePro

T

halbiert sich der Bestand.

3Die e-Funktion

(e^{x})^{'} = e^{x}

Immer positiv, schneidet die y-Achse bei $1$ .
$e^{- x}$ ist an der y-Achse gespiegelt.

$e \approx 2, 718$ : Der Graph von $e^{x}$ .

Merke

e^{x}

ist seine eigene Ableitung.

4Exponent gesucht

a^{t} = c \Rightarrow t = \frac{ln c}{ln a}

Steht die Unbekannte im Exponenten: logarithmieren.

$1, 5^{t} = 3$ : Wo trifft $1, 5^{t}$ die Höhe 3?

MerkeExponent gesucht heisst:

ln

anwenden.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Eine Stadt hat 40 000 Einwohner und wächst um 1,8 % pro Jahr. Wann sind es 50 000?

Start: 40 000. Ziel: 50 000.

1
Modell
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Gleichung
…
3
Logarithmieren
…

Typische Fehler

✗
Prozent addieren statt multiplizieren: Nach 10 Jahren mit 5 % sind es nicht $+ 50 %$ , sondern $\cdot 1, 0 5^{10} \approx 1, 63$ .
✗
Bei Abnahme $a = 0, 05$ statt $a = 0, 95$ verwenden.
✗
Den Exponenten mit Division «befreien» wollen. Dafür braucht es den Logarithmus.

Prüfungstipp

Sobald die Unbekannte im Exponenten steht, ist der nächste Schritt immer: Logarithmieren.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du stellst $N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$ aus einem Text auf.
Du rechnest mit Prozenten, Halbwertszeit und Verdopplungszeit.
Du kennst die Eigenschaften von $e^{x}$ .

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