Quadratische Funktionen II

abc-Formel, Diskriminante, Schnittpunkte mit Geraden

Prüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Zwei Schnittpunkte mit der x-Achse: $D > 0$ .

Nach dieser Lektion

✓
Du löst $a x^{2} + b x + c = 0$ sicher mit der abc-Formel.
✓
Du entscheidest mit der Diskriminante, wie viele Lösungen es gibt.
✓
Du berechnest Schnittpunkte von Parabel und Gerade.

An der Prüfung: Nullstellen und Schnittpunkte sind Pflicht-Handwerk für jede Flächenberechnung in Aufgabe 1.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

Normalform

$y = 1 x^{2} - 2 x - 3$

Scheitelpunktform

$y = 1 (x - 1)^{2} - 4$

Öffnungsfaktor

a

1.00Faktor

b

−2.0Konstante

c

−3.0

Öffnung: nach oben (Minimum im Scheitel).
Diskriminante: $D = b^{2} - 4 a c = 16$
Nullstellen: x₁ = −1 und x₂ = 3
y-Achsenabschnitt: −3 (roter Punkt)

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Die abc-Formel

x_{1, 2} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Zuerst auf die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ bringen.
$b$ mit Vorzeichen einsetzen: $b = - 7$ gibt $- b = 7$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

MerkeMinus vor

b

nicht vergessen.

2Diskriminante

D = b^{2} - 4 a c

Diskriminante		Nullstellen
$D > 0$	→	$2$
$D = 0$	→	$1$
$D < 0$	→	$0$

$D$ steht unter der Wurzel der abc-Formel.

$x^{2} - 2 x - 3$ : $D = 16 > 0$ , zwei Nullstellen.

Merke

D < 0

: Die Wurzel gibt es nicht.

3Schnell ohne Formel

Gleichung		Weg
$a x^{2} + b x = 0$	→	$x (a x + b) = 0$
$a x^{2} + c = 0$	→	$x = \pm - \frac{c}{a}$
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$	→	$(x - 2) (x - 3) = 0$

Fehlt $c$ : ausklammern. Fehlt $b$ : Wurzel ziehen.
Bei $a = 1$ : Summe der Lösungen $= - b$ , Produkt $= c$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

MerkePrüfe zuerst, ob

b

oder

c

fehlt.

4Parabel und Gerade

Ber u ¨ hren ⟺ D = 0

Gleichsetzen, alles auf eine Seite, dann $D$ prüfen.

$p : y = x^{2}$ und $y = x + 2$ : $D = 9 > 0$ , zwei Punkte.

MerkeEine Lösung heisst: Gerade berührt die Parabel.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Für welchen Wert von k berührt die Gerade g : y = 2 x + k die Parabel p : y = x^{2} - 4 x + 7 ? Bestimme den Berührpunkt.

Parabel $p$ und die Geraden $y = 2 x + k$ .

1
Gleichsetzen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Berühren heisst D = 0
…
3
Berührpunkt
…

Typische Fehler

✗
Bei negativem $b$ das Vorzeichen in $- b$ falsch setzen: Bei $b = - 7$ ist $- b = + 7$ .
✗
$b^{2}$ mit negativem $b$ ohne Klammer in den Rechner tippen: $- 7^{2} = - 49$ , aber $(- 7)^{2} = 49$ .
✗
Vergessen, dass $D = 0$ die Bedingung für «Berühren» ist.

Prüfungstipp

Wörter wie «berühren» oder «Tangente» bei Parabel und Gerade bedeuten fast immer: Gleichsetzen und $D = 0$ . Damit bestimmst du den unbekannten Parameter.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie in der Passerelle. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

1 Aufgabe auf Prüfungsniveau

Parabel berührt Gerade

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Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du löst $a x^{2} + b x + c = 0$ sicher mit der abc-Formel.
Du entscheidest mit der Diskriminante, wie viele Lösungen es gibt.
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