Quadratische Funktionen I

Normalform, Scheitelpunktform, Öffnung, Scheitelpunkt

Prüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Ein Ball fliegt: Seine Bahn ist eine Parabel.

Nach dieser Lektion

✓
Du verstehst, was $a$ , $b$ und $c$ mit dem Graphen machen.
✓
Du berechnest den Scheitelpunkt mit $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ .
✓
Du wechselst zwischen Normalform und Scheitelpunktform.

An der Prüfung: Parabeln tauchen in fast jeder Prüfung als Teil einer grösseren Aufgabe auf (Flächen, Tangenten, Extremwerte).

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

Normalform

$y = 1 x^{2} - 2 x - 3$

Scheitelpunktform

$y = 1 (x - 1)^{2} - 4$

Öffnungsfaktor

a

1.00Faktor

b

−2.0Konstante

c

−3.0

Öffnung: nach oben (Minimum im Scheitel).
Diskriminante: $D = b^{2} - 4 a c = 16$
Nullstellen: x₁ = −1 und x₂ = 3
y-Achsenabschnitt: −3 (roter Punkt)

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Die Rolle von a

y = a x^{2}

$a > 0$ : nach oben offen (Tal), $a < 0$ : nach unten offen (Berg).
$∣ a ∣$ gross: schmal. $∣ a ∣$ klein: breit.

Die Normalparabel $y = x^{2}$ (gestrichelt).

Merke

a

bestimmt Öffnung und Breite.

2Scheitelpunktform

y = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}

Den Scheitel $S (x_{S} ∣ y_{S})$ liest du direkt ab.
Vorzeichen drehen: $(x + 3)^{2}$ heisst $x_{S} = - 3$ .

$y = \frac{1}{2} (x + 3)^{2} - 2$

MerkeVorzeichen in der Klammer drehen.

3Scheitel aus der Normalform

x_{S} = - \frac{b}{2 a}, y_{S} = f (x_{S})

Zuerst $x_{S}$ , dann einsetzen für $y_{S}$ .
Mit Nullstellen: $x_{S}$ liegt genau in ihrer Mitte.

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

MerkeDas Minus vor

\frac{b}{2 a}

nicht vergessen.

4Von der Scheitel- zur Normalform

Scheitelpunktform		Normalform
$2 (x - 1)^{2} + 3$	→	$2 x^{2} - 4 x + 5$
$- (x + 2)^{2} + 1$	→	$- x^{2} - 4 x - 3$
$\frac{1}{2} (x - 4)^{2} - 2$	→	$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 6$

Klammer mit der binomischen Formel auflösen, dann mit $a$ multiplizieren.

Merke

a

gilt für die ganze Klammer.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Bestimme den Scheitelpunkt von f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 13 und gib die Scheitelpunktform an.

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 13$

1
x-Koordinate
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
y-Koordinate
…
3
Scheitelpunktform
…

Typische Fehler

✗
Das Minus in $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ vergessen.
✗
In der Scheitelpunktform das Vorzeichen falsch ablesen: $(x + 2)^{2}$ heisst $x_{S} = - 2$ .
✗
Beim Ausmultiplizieren den Faktor $a$ nur auf $x^{2}$ statt auf die ganze Klammer anwenden.

Prüfungstipp

Wenn eine Aufgabe sagt «Scheitel auf der y-Achse», heisst das $b = 0$ , also $f (x) = a x^{2} + c$ . Solche versteckten Bedingungen sind typisch für die Passerelle.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du verstehst, was $a$ , $b$ und $c$ mit dem Graphen machen.
Du berechnest den Scheitelpunkt mit $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ .
Du wechselst zwischen Normalform und Scheitelpunktform.

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