Lineare Funktionen

Steigung, Achsenabschnitt, Schnittpunkte, senkrechte Geraden

Grundlageca. 35 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Taxi A: Der Preis wächst gleichmässig mit den Kilometern.

Nach dieser Lektion

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Du liest $m$ und $q$ direkt aus $y = m x + q$ ab und zeichnest die Gerade ohne Wertetabelle.
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Du bestimmst die Gerade durch zwei Punkte und den Schnittpunkt zweier Geraden.
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Du erkennst senkrechte Geraden an $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .

An der Prüfung: Grundlage für Tangenten, Geraden in der Vektorgeometrie und Textaufgaben.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

Deine Gerade

$y = x - 2$

Steigung

m

1.0y-Achsenabschnitt

q

−2.0

Steigung: Pro 1 nach rechts geht die Gerade um 1 hoch. Das rote Dreieck zeigt es.
Achsenabschnitt: Die Gerade schneidet die y-Achse bei −2.
Nullstelle: x = −q/m = 2

Challenge

Wir zeigen dir eine gestrichelte Gerade. Stelle m und q so ein, dass deine Gerade genau darauf liegt.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Steigung m

m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

1 nach rechts, $m$ nach oben.
$m < 0$ : Die Gerade fällt.

Gerade durch $A (1 ∣ 0, 5)$ und $B (3 ∣ 3, 5)$ .

MerkeSteigung = Höhenunterschied pro 1 nach rechts.

2Achsenabschnitt q

y = m x + q

Für $x = 0$ ist $y = q$ : der Punkt $(0 ∣ q)$ .
$q$ verschiebt die Gerade nur hoch oder runter.

$y = 0, 5 x + 1$ : $q = 1$

Merke

q

ist die Höhe bei

x = 0

3Nullstelle und Schnittpunkt

x_{0} = - \frac{q}{m}

Nullstelle: $y = 0$ setzen.
Schnittpunkt: beide Terme gleichsetzen.

$g : y = x + 1$ und $h : y = - \frac{1}{2} x + 4$

MerkeSchnittpunkt: gleiches

x

, gleiches

y

4Parallel und senkrecht

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

Steigung		senkrecht dazu
$2$	→	$- \frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$	→	$- \frac{4}{3}$
$- 5$	→	$\frac{1}{5}$

Parallel: gleiche Steigung.
Senkrecht: negativer Kehrwert.

$g : y = 2 x$ hat $m_{1} = 2$ .

MerkeSenkrecht: Kehrwert und Vorzeichen drehen.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Die Gerade g geht durch A (- 1 ∣ - 1) und B (1 ∣ 3) . Die Gerade h steht senkrecht auf g und geht durch C (4 ∣ 0) . Bestimme h und den Schnittpunkt S von g und h .

Gegeben: $A$ , $B$ und $C$ .

1
Gerade g
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Steigung von h
…
3
q von h
…
4
Schnittpunkt
…

Typische Fehler

✗
Bei $Δ y /Δ x$ die Reihenfolge der Punkte im Zähler und Nenner vertauschen: Das Vorzeichen wird falsch.
✗
Bei senkrechten Geraden nur das Vorzeichen ändern statt den negativen Kehrwert zu nehmen.
✗
Geraden in der Form $a x + b y + c = 0$ nicht zuerst nach $y$ auflösen.

Prüfungstipp

In der Passerelle stehen Geraden oft in Koordinatenform, z. B. $9 x + 10 y + 50 = 0$ . Löse sie sofort nach $y$ auf: $y = - 0, 9 x - 5$ . Dann siehst du $m$ und $q$ direkt.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du liest $m$ und $q$ direkt aus $y = m x + q$ ab und zeichnest die Gerade ohne Wertetabelle.
Du bestimmst die Gerade durch zwei Punkte und den Schnittpunkt zweier Geraden.
Du erkennst senkrechte Geraden an $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .

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