Kreise

Kreisgleichung, Mittelpunkt und Radius, Tangente, Schnitt mit Geraden

Prüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Alle Punkte im Abstand $r$ von $M$ bilden einen Kreis.

Nach dieser Lektion

✓
Du liest Mittelpunkt und Radius aus jeder Kreisgleichung ab (quadratisch ergänzen).
✓
Du bestimmst Tangenten mit der Eigenschaft «Tangente steht senkrecht auf dem Radius».
✓
Du berechnest Schnittpunkte von Kreis und Gerade.

An der Prüfung: Kreise kamen in vielen Prüfungen vor, meist in der Geometrieaufgabe: Kreisgleichung aufstellen, Tangente, Schnittpunkte, Sehnen.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

Kreis blau, Gerade orange, Abstände violett.

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 9

Mittelpunkt

a

1Mittelpunkt

b

−1Radius

r

3Höhe der Geraden

q

$d$

2,2

$r$

$d = 2, 2 < r$ : zwei Schnittpunkte, die Gerade ist eine Sekante.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Mach die Gerade zur Tangente.
(offen)
Finde eine Passante ohne Schnittpunkt.
(offen)
Lass die Gerade durch den Mittelpunkt $M$ laufen.
(offen)

Entdecke:

Schiebe $g$ langsam durch den Kreis. Wann ändert sich die Anzahl der Schnittpunkte, und wie gross ist dann $d$ ?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Kreisgleichung

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Mittelpunkt $M (a ∣ b)$ und Radius $r$ liest du direkt ab.
Vorzeichen in der Klammer drehen: $(x + 3)^{2}$ heisst $a = - 3$ .

$(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$

MerkeRechts steht

r^{2}

, nicht

r

2Quadratisch ergänzen

x^{2} + p x = (x + \frac{p}{2})^{2} - \frac{p ^{2}}{4}

Ergänzen		Quadrat
$x^{2} - 4 x$	→	$(x - 2)^{2} - 4$
$y^{2} + 6 y$	→	$(y + 3)^{2} - 9$

$x$ und $y$ getrennt ergänzen.
Abgezogene Quadrate nach rechts: $r^{2} = 12 + 4 + 9 = 25$ .

MerkeHalbe Zahl in die Klammer, ihr Quadrat abziehen.

3Tangente und Radius

u (x - x_{P}) + v (y - y_{P}) = 0

$M P = (u, v)$ ist der Normalenvektor der Tangente.
Probe: $P$ muss die Gleichung erfüllen.

Kreis um $M (0 ∣ 0)$ mit $r = 5$ und $P (3 ∣ 4)$ .

MerkeRadius und Tangente bilden einen rechten Winkel.

4Kreis und Gerade

Abstand (Diskriminante)		Schnittpunkte
$d < r (D > 0)$	→	$zwei: Sekante$
$d = r (D = 0)$	→	$einer: Tangente$
$d > r (D < 0)$	→	$keiner: Passante$

Gerade einsetzen: quadratische Gleichung in $x$ .
Oder den Abstand $d$ von $M$ zur Geraden mit $r$ vergleichen.

$d = 1, 8 < r$ : zwei Schnittpunkte.

MerkeAbstand

d

gegen Radius

r

: Das entscheidet.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

k : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0 . Bestimme Mittelpunkt und Radius, die Tangente in P (5 ∣ 1) und die Schnittpunkte mit g : y = - x + 4 .

Kreis $k$ , Punkt $P$ und Gerade $g$ .

1
Mittelpunkt und Radius
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Tangente in P
…
3
Schnitt mit g
…

Typische Fehler

✗
Vorzeichen beim Ablesen: $(x + 3)^{2}$ heisst $a = - 3$ .
✗
Beim quadratischen Ergänzen die abgezogenen Quadrate vergessen.
✗
Den Radius als $r^{2}$ angeben statt die Wurzel zu ziehen.

Prüfungstipp

Mach eine Skizze mit $M$ und $r$ . Viele Kreisaufgaben lassen sich mit einem rechtwinkligen Dreieck (Radius, halbe Sehne, Abstand zur Sehne) viel schneller lösen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie in der Passerelle. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

1 Aufgabe auf Prüfungsniveau

Kreis, Tangente und Sehne

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Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du liest Mittelpunkt und Radius aus jeder Kreisgleichung ab (quadratisch ergänzen).
Du bestimmst Tangenten mit der Eigenschaft «Tangente steht senkrecht auf dem Radius».
Du berechnest Schnittpunkte von Kreis und Gerade.

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